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過去問解説【R1:問2】平行板コンデンサに関する問題

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正解:(3)

問題

図のように,極板間距離\(d\ \rm{[mm]}\)と比誘電率\(ε_r\)が異なる平行板コンデンサが接続されている。極板間の形状と大きさは全て同一であり,コンデンサの端効果,初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。印加電圧を\(10\rm{kV}\)とするとき,図中の二つのコンデンサ内部の電界の大きさ\(E_A\)及び\(E_B\)の値\(\rm{[kV/mm]}\)の組み合わせとして,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

$$ \begin{array}{ccc} &E_A &E_B \\ \hline (1) &0.25 &0.67 \\ \hline (2) &0.25 &1.5 \\ \hline (3) &1.0 &1.0 \\ \hline (4) &4.0 &0.67 \\ \hline (5) &4.0 &1.5 \end{array}$$

解説

①直列に接続されているコンデンサをまとめる

問題の図を見ると直列に接続されているコンデンサ同士の比誘電率は同じ値となっています。したがって、直列に接続されているコンデンサ中の電気力線の本数(電界の大きさ)は等しくなります。

よって、電界\(E_A \ ,\ E_B \)の大きさは、直列に接続されたコンデンサ中でも同じ値となるので、コンデンサを合成して計算しやすくします。

$$ \begin{align} C_1 &= 3ε_0 \times \frac{S}{2+3+5} = 3 ε_0 \times \frac{S}{10} \\ C_2 &= 2ε_0 \times \frac{S}{4+6} = 2 ε_0 \times \frac{S}{10} \\ C_3 &= ε_0 \times \frac{S}{10} \end{align} $$

②電位差と電界の関係式から電界の大きさを計算する

公式

$$ \begin{align} V &= E \times d \\ 電位差 &= 電界 \times 距離 \end{align} $$

公式より、コンデンサ\(C_1 \ , \ C_2 \ , \ C_3 \)中の電界の大きさ\(E_1 \ , \ E_2 \ , \ E_3 \)の大きさは次の様に計算できる。

$$ E_1 = \frac{V}{d} = \frac{\rm{10[kV]}}{\rm{10[mm]}} = \rm{1.0[kV/mm]} $$

$$ E_2 = \frac{V}{d} = \frac{\rm{10[kV]}}{\rm{10[mm]}} = \rm{1.0[kV/mm]} $$

$$ E_3 = \frac{V}{d} = \frac{\rm{10[kV]}}{\rm{10[mm]}} = \rm{1.0[kV/mm]} $$

コンデンサ内部の比誘電率が変化しないとき、内部の電界の大きさはどの地点でも等しくなるので、

$$ E_A = E_1 = \rm{1.0[kV/mm]} \\ E_B = E_2 = \rm{1.0[kV/mm]} $$

となる。答えは、(3)の\(E_A = \rm{1.0[kV/mm]} \ , \ E_B = \rm{1.0[kV/mm]} \)。

コンデンサに蓄えられる電気量\(\rm{[C]}\)から求める方法

直列に接続されるコンデンサに蓄えられる電気量は等しくなります。

①コンデンサの合成容量を計算する

$$\begin{align} C_1 &= 3ε_0 \times \frac{S}{2+3+5} = 3ε_0 \times \frac{S}{10} \\ C_2 &= 2ε_0 \times \frac{S}{4+6} = 2ε_0 \times \frac{S}{10} \\ C_3 &= ε_0 \times \frac{S}{10} \end{align} $$

②コンデンサに蓄えられる電気量\(\rm{[C]}\)を計算する

コンデンサに蓄えられる電気量は式\(Q=CV\)より計算できるので以下の様になる。

$$ Q_1 = C_1 \times V = 3ε_0 \times \frac{S}{10} \times 10 = 3ε_0 S \ \rm{[C]} $$

$$ Q_2 = C_2 \times V = 2ε_0 \times \frac{S}{10} \times 10 = 2ε_0 S \ \rm{[C]} $$

$$ Q_3 = C_3 \times V = ε_0 \times \frac{S}{10} \times 10 = ε_0 S \ \rm{[C]} $$

③電束密度から電界の大きさを計算する

電気量\(Q \rm{[C]}\)からでる電束の本数は、周囲の誘電率からの影響を受けず電束\(\phi = Q \rm{[C]} \)となる。よって、各コンデンサ内部の電束\(\phi _1 \ , \ \phi _2 \ , \ \phi _3 \)は以下の様になる。

$$ \Phi _1 = Q_1 = 3ε_0 S \ \rm{[C]} $$

$$ \Phi _2 = Q_2 = 2ε_0 S \ \rm{[C]} $$

$$ \Phi _3 = Q_3 = ε_0 S \ \rm{[C]} $$

極板の大きさは全てSで等しいから電束密度\(D_1 \ , \ D_2 \ , \ D_3 \) の大きさは、

$$ D_1 = \frac{\Phi _1}{S} = \frac{3ε_0 S}{S} = 3ε_0 $$

$$ D_2 = \frac{\Phi _2}{S} = \frac{2ε_0 S}{S} = 2ε_0 $$

$$ D_3 = \frac{\Phi _3}{S} = \frac{ε_0 S}{S} = ε_0 $$

電束密度と電界の大きさの関係式は\(D = ε\times E\)であるから、各コンデンサのの電界の大きさは、

$$ E_1 = \frac{D_1}{3ε_0}=\frac{3ε_0}{3ε_0} = 1.0 $$

$$ E_2 = \frac{D_2}{2ε_0}=\frac{2ε_0}{2ε_0} = 1.0 $$

$$ E_3 = \frac{D_3}{ε_0}=\frac{ε_0}{ε_0} = 1.0 $$

したがって、答えは(3)となる。

ポイント

電束密度の概念を理解していることで計算量を減らすことができ、スムーズに解答が導けます。平行板コンデンサに関する問題では頻出ですので、しっかり復習して理解を深めましょう。

平行板コンデンサ内の電界の大きさ

平行板コンデンサの金属板上には、電荷が一様に分布しています。また、間にはさまれている誘電体(絶縁体)内部の電気力線密度も一様になり平等電界となります。

この時の電界の大きさは、以下のように表せます。$$ E = \frac{V}{d} $$

電束密度と電界の大きさ

電束の本数は、誘電率\(ε \ [F/m]\)を無視して考えるため電気力線の本数の\(ε\)倍になります。電気力線の密度は電界の大きさ\( E\ [V/m]\)を表すので、電束の密度(電束密度)\(D\ [C/m^2]\)は電界の大きさ\(E\)の\(ε\)倍になります。$$ D = ε \times E $$

平行板コンデンサ容量\(C\ [F]\)の求め方

極板の面積を\(S\ [m^2]\)、極板間の距離を\(d\ [m]\)、誘電率を\(ε\ [F/m]\)とすると、コンデンサの静電容量\(C\ [F]\)は次のように表すことができる。

$$ C = ε \times \frac{S}{d} \ [F] $$

コンデンサ容量の合成

直列接続の場合 

$$ \begin{align} \frac{1}{C_{total}} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\\ \\ &= \frac{C_2}{C_1 \times C_2} + \frac{C_1}{C_2 \times C_1} \\ \\ &= \frac{C_2 + C_1}{C_1 \times C_2} \\ \\ C_{total} &= \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} \end{align} $$

並列接続の場合

$$ C_{total} = C_1 + C_2 $$

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