問題
平行平板コンデンサにおいて，極板間の距離，静電容量，電圧，電界をそれぞれ\( d\) [m]，\(C\) [F]，\(V\) [V]，\(E\) [V/m]，極板上の電荷を\(Q\) [C]とするとき，誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし，極板の面積及び極板間の誘電率は一定であり，コンデンサの端効果は無視できるものとする。
(1) \(Q\)を一定として\(d\)を大きくすると，\(C\)は減少する。
(2) \(Q\)を一定として\(d\)を大きくすると，\(E\)は上昇する。
(3) \(Q\)を一定として\(d\)を大きくすると，\(V\)は上昇する。
(4) \(V\)を一定として\(d\)を大きくすると，\(E\)は減少する。
(5) \(V\)を一定として\(d\)を大きくすると，\(Q\)は減少する。
解説
答え：(2)
(1)：極板間距離と静電容量の関係
平行板コンデンサの静電容量\(C\) [F]は，極板の面積を\(S\ \rm [m^2] \)，誘電率を\(ε\) [F/m]，極板距離を\(d\) [m]とすると以下の式で表すことができます。
\( C = ε\displaystyle \frac{S}{d} \)
電荷\(Q\) [C]の大きさに関係なく，極板間距離\(d\) [m]が大きくなると静電容量\(C\) [F]は小さくなるため，正しいといえます。
(2)：極板間距離と電界の関係（電界\(Q\)が一定の場合）
電荷\(Q\) [C]が一定に保たれているとき極板から出る電気力線の本数は，
\( 電気力線[本] = \displaystyle \frac{Q}{ε} \)
で表すことができます。電界\(E\)の大きさは，電気力線の密度によって決まるため，極板の表面積を\(S \ \rm [m^2] \)とすると，
\( E = \displaystyle \frac{Q}{ε} \times \displaystyle \frac{1}{S} = \displaystyle \frac{Q}{εS} \)
と表すことができます。したがって，極板間距離\(d\) [m]には関係なく，コンデンサ内部の電界はどの地点でも同じ「平等電界」となります。
よって、(2)が誤りとなります。
\( E = \displaystyle \frac{V}{d} \)の式で考える場合
電圧\(V\)は，静電容量\(C\) [F]と電荷\(Q\) [C]を用いて表すと，
\( V = \displaystyle \frac{Q}{C} \)
となります。
静電容量\(C\)は(1)で求めたように，
\(C = ε\displaystyle \frac{S}{d} \)
と表せます。
したがって、
\( \begin{align} E &= \displaystyle \frac{V}{d} \\ \\ &= Q \times \displaystyle \frac{d}{εS} \times \displaystyle \frac{1}{d} \\ \\ &= \displaystyle \frac{Q}{εS} \end{align} \)
となり，極板間距離\(d\)に関係がない式を導くことができます。
(3)：電位と極板間距離の関係
電圧\(V\)は，静電容量\(C\) [F]と電荷\(Q\) [C]を用いて表すと，
\( V = \displaystyle \frac{Q}{C} \)
となります。静電容量\(C\)は(1)で求めたように，
\(C = ε\displaystyle \frac{S}{d} \)
と表せるので，電位\(V\) [V]の式は，
\( \begin{align} V &= \displaystyle \frac{Q}{C} \\ \\ &= \displaystyle \frac{Q}{ε\displaystyle \frac{S}{d}} = \displaystyle \frac{Qd}{εS} \end{align} \)
となります。電位の式から，電位の大きさと極板間距離\(d\)の大きさ比例していることが分かるので，(3)は正しいといえます。
(4)：極板間距離と電界の関係（電圧\(V\)が一定の場合）
電圧\(V\)が一定の場合，平行板コンデンサの電界\(E\)は，極板間距離\(d\)を用いて，
\( E = \displaystyle \frac{V}{d} \)
と表すことができます。電圧\(V\)は一定なので，極板間距離\(d\)が大きくなると，電界\(E\)は小さくなります。
(5)：電荷と極板間距離の関係
平行板コンデンサの静電容量\(C\) [F]は，極板の面積を\(S\ \rm [m^2] \)，誘電率を\(ε\) [F/m]，極板距離を\(d\) [m]とすると，
\( C = ε\displaystyle \frac{S}{d} \)
で表すことができます。電圧\(V\)が一定の場合，
\( \begin{align} Q &= C \times V \\ \\ &=ε\displaystyle \frac{S}{d} \times V \\ \\ &= \displaystyle \frac{εSV}{d} \end{align} \)
と変形することができ，電荷\(Q\)の大きさは，極板間距離\(d\)と反比例の関係にあることが分かります。
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