【過去問解説】R2理論　問6　抵抗のみの直流回路の計算問題

問題

図のように，三つの抵抗 \(R_1 = 3\ \Omega\) ， \(R_2 = 6\ \Omega\) ， \(R_3 = 2\ \Omega\) と電圧 \(V\ \rm[V]\) の直流電源からなる回路がある。抵抗 \(R_1\) ， \(R_2\) ， \(R_3\) の消費電力をそれぞれ \(P_1\ \rm[W]\) ， \(P_2\ \rm[W]\) ， \(P_3\ \rm[W]\) とするとき，その大きさの大きい順として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　\( P_1 > P_2 > P_3 \) 　(2)　\( P_1 > P_3 > P_2\)　(3)　\(P_2 > P_1 > P_3\)　
(4)　\( P_2 > P_3 > P_1 \) 　(5)　\( P_3 > P_1 > P_2\)

解説

答え：（2）

回路を流れる電流を求める

上図のように，回路の各点を流れる電流をそれぞれ，\(I_1 \) ，\(I_2\) ，\(I_3\) で表すことにします。

並列に接続された抵抗\(R_2\) と \(R_3\) の合成抵抗 \(R_4\) の大きさは，

\(\begin{align} R_4 &= \displaystyle \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} \\ \\ &= \displaystyle \frac{6 \times 2}{6+2} \\ \\ &= \displaystyle \frac{12}{8} \\ \\ &=\displaystyle \frac{3}{2} \\ \\ &= 1.5 \ \Omega \end{align} \)

したがって，回路全体を流れる電流 \(I_1\ \rm [A]\) の大きさは，

\(\begin{align} I_1 &= \displaystyle \frac{V}{R_1 + R_4} \\ \\ &= \displaystyle \frac{V}{3 + 1.5} \\ \\ &= \displaystyle \frac{V}{4.5} \\ \\ &= \displaystyle \frac{2V}{9} \ \rm [A] \end{align} \)

と計算できます。

電流 \(I_1\) ，\(I_2\) ，\(I_3\) の大きさは，抵抗の大きさの逆数に比例するので，

\(\begin{align} I_1 : I_2 : I_3 &= \displaystyle \frac{1}{R_4} : \displaystyle \frac{1}{R_2} : \displaystyle \frac{1}{R_3} \\ \\ \displaystyle \frac{2V}{9} : I_2 : I_3 &= \displaystyle \frac{2}{3} : \displaystyle \frac{1}{6} : \displaystyle \frac{1}{2} \end{align} \)

と表すことができます。したがって，電流 \(I_2\) ，\(I_3\) の大きさは，

【電流 \(I_2\ \rm[A]\) の大きさ】

\(\begin{align} I_1 : I_2 &= \displaystyle \frac{2}{3} : \displaystyle \frac{1}{6} \\ \\ \displaystyle \frac{2V}{9} : I_2 &= \displaystyle \frac{2}{3} : \displaystyle \frac{1}{6} \\ \\ I_2 \times \displaystyle \frac{2}{3} &= \displaystyle \frac{2V}{9} \times \displaystyle \frac{1}{6} \\ \\ I_2 &= \displaystyle \frac{2V}{9} \times \displaystyle \frac{1}{6} \color{red}{ \times \displaystyle \frac{3}{2}} \\ \\ I_2 &= \displaystyle \frac{V}{18} \ \rm [A] \end{align} \)

【電流 \(I_3\ \rm[A]\) の大きさ】

\(\begin{align} I_1 : I_3 &= \displaystyle \frac{2}{3} : \displaystyle \frac{1}{2} \\ \\ \displaystyle \frac{2V}{9} : I_3 &= \displaystyle \frac{2}{3} : \displaystyle \frac{1}{2} \\ \\ I_3 \times \displaystyle \frac{2}{3} &= \displaystyle \frac{2V}{9} \times \displaystyle \frac{1}{2} \\ \\ I_3 &= \displaystyle \frac{2V}{9} \times \displaystyle \frac{1}{2} \color{red}{\times \displaystyle \frac{3}{2}} \\ \\ I_3 &= \displaystyle \frac{V}{6} \ \rm[A] \end{align} \)

以上のように計算することができます。

電力 \(P_1\) ，\(P_2\)，\(P_3\) の大きさを計算する

　抵抗で消費される電力は上記の式で計算することができるので，抵抗の値と電流の値から消費電力\(P_1\) ，\(P_2\)，\(P_3\) の大きさを計算します。

【電力 \(P_1\) の大きさ】

\( \begin{align} P_1 &= R_1 \times I_1 ^2 \\ \\ &= 3 \times \left( \displaystyle \frac{2V}{9} \right) ^2 \\ \\ &= 3 \times \displaystyle \frac{4V^2}{81} \\ \\ &= \displaystyle \frac{4V^2}{27} \ \rm[W] \end{align} \)

【電力 \(P_2\) の大きさ】

\( \begin{align} P_2 &= R_2 \times I_2 ^2 \\ \\ &= 6 \times \left( \displaystyle \frac{V}{18} \right)^2 \\ \\ &= 6 \times \displaystyle \frac{V^2}{18 \times18} \\ \\ &= \displaystyle \frac{V^2}{3 \times 18} \\ \\ &= \displaystyle \frac{V^2}{54} \ \rm[W] \end{align} \)

【電力 \(P_3\) の大きさ】

\( \begin{align} P_3 &= R_3 \times I_3 ^2 \\ \\ &= 2 \times \left( \displaystyle \frac{V}{6} \right) ^2 \\ \\ &= 2 \times \displaystyle \frac{V^2}{36} \\ \\ &= \displaystyle \frac{V^2}{18} \ \rm[W] \end{align} \)

電力\(P_1\) ，\(P_2\)，\(P_3\) の大きさを比較する

電力の大きさを比較するために，分母の数をそろえる必要があります。今回は分母の数が一番大きい \(P_2\) の値にそろえることにします。

【電力 \(P_1\) の大きさ】

\(\begin{align} P_1 &= \displaystyle \frac{4V^2 \color{red}{\times 2}}{27 \color{red}{\times 2}} \\ \\ &= \displaystyle \frac{8V^2}{54} \end{align} \)

【電力 \(P_2\) の大きさ】

\(P_2 = \displaystyle \frac{V^2}{54} \)

【電力 \(P_3\) の大きさ】

\( \begin{align} P_3 &= \displaystyle \frac{V^2 \color{red}{\times 3}}{18 \color{red}{\times 3}} \\ \\ &= \displaystyle \frac{3V^2}{54} \end{align} \)

以上のようになるので，電力の大きさを比較すると，

\( P_1 > P_3 > P_2 \)

となり，答えは(2)になります。