【過去問解説】R4年上期理論　問1　コンデンサに関する選択問題

問題

面積がともに \(S\  \rm[m^2] \) で円形の二枚の電極板（導体平板）を、互いの中心が一致するように間隔 \(d\ \rm[m]\) で平行に向かい合わせて置いた平行板コンデンサがある。
電極板間は誘電率 \(ε\  \rm[F/m]\) の誘電体で一様に満たされ、電極板間の電位差は電圧 \(V\ \rm [V]\) の直流電源によって一定に保たれている。この平行板コンデンサに関する記述として、誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(1)　誘電体内の等電位面は、電極板と誘電体の境界面に対して平行である。
(2)　コンデンサに蓄えられる電荷量は、誘電率が大きいほど大きくなる。
(3)　誘電体内の電界の大きさは、誘電率が大きいほど小さくなる。
(4)　誘電体内の電束密度の大きさは、電極板の単位面積当たりの電荷量の大きさに等しい。
(5)　静電エネルギーは誘電体内に蓄えられ、電極板の面積を大きくすると静電エネルギーは増大する。

解説

答え：(3)

(1)正しい

平行板コンデンサ内の電界（電気力線）の様子は、図1のように極板に対して全て垂直になっています。
「等電位面」は電気力線と直角に交わるので、図2のようになります。

したがって、「等電位面」は電極板と誘電体の境界面に対して平行になります。

(2)正しい

コンデンサの電荷の蓄えやすさ（静電容量）\( C \ \rm[F]\)は、問題で与えられた記号を用いて表すと、

\( C = ε \displaystyle \frac{S}{d} \ \rm[F] \)

になります。電圧\(V \ \rm[V]\)の電源と接続されているので、コンデンサに蓄えられる電荷量\(Q \ \rm[C]\)は、

\( Q = C \times V = ε\displaystyle \frac{S}{d} \times V \)

と表すことができ、誘電率\(ε\)に比例することが分かります。

(3)誤り

コンデンサが電源と接続されている場合、コンデンサの極板間には、どこであっても電界の大きさが一定になる、「平等電界」が生じます。

そのため、「…誘電率が大きいほど小さくなる。」の一文は誤りです。

(4)正しい

電束とは、電荷の周り物質に関係なく、電荷\(Q\ \rm[C]\)から\(Q\)[本]の線（電束）がでると考えたものです。よって、電束と電荷量の大きさと等しくなります。

電束密度の大きさは、極板の単位面積当たりの電束の大きさのことなので、極板の単位面積当たりの電荷量の大きさと等しくなります。

(5)正しい

静電エネルギー\(W\)とは、充電されたコンデンサが持っているエネルギーのことです。

静電エネルギー：\( W = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2 \) [J]

ここで、静電容量\(C \ \rm[F]\)は、面積\(S\ \rm[m^2]\)と極板間距離\(d\ \rm[m]\)、誘電率\(ε\ \rm[F/m]\)を用いて

\( C = ε \displaystyle \frac{S}{d} \ \rm[C] \)

と表すことができるので、静電エネルギーは誘電率の大きさに比例していると考えることができます。