【解説】変圧器の三相結線

V-V結線時の出力の導出

V結線はΔ結線の変圧器1台が故障により使用できなくなったと想定して考えを進めていくと非常に理解しやすいです。変圧器1台が故障した場合の結線は図13の様になります。

この時の線間電圧、巻線に生じる電圧、各線を流れる電流は図14の様に表すことができます。

\( \begin{align} \dot{V}_{uv} &= \dot{E}_{u} \\ \dot{V}_{vw} &= \dot{E}_{v} \\ \dot{V}_{wu} &= -\left( \dot{E}_u + \dot{E}_v \right) \end{align} \)

線間電圧の大きさ　\( \vert \dot{V}_{uv} \vert = \vert \dot{V}_{vw} \vert = \vert \dot{V}_{wu} \vert = V_n \)

の様になります。また、各線と巻線を流れる電流は以下の式で表されます。

\( \begin{align} \dot{I}_u &= \dot{I}_{uv} \\ \dot{I}_v &= \dot{I}_{vw} – \dot{I}_{uv} \\ \dot{I}_w &= – \dot{I}_{vw} \end{align} \)

単相変圧器の出力[W]は

\( \begin{align} 出力 &= 線間電圧 \times 巻線を流れる電流 \times 力率 \\ P &= V \times I \times \cos\theta \end{align} \)

線間電圧\(V_{uv}\)を基準とし、変圧器Aの出力\(P_A\)[W]は次の式で計算できます。

\( \begin{align} P_A &=  \dot{V}_{uv} \times \dot{I}_{uv} \\ &= V_n \times I_n \cos \left( \displaystyle \frac{\pi}{6} + \theta \right) \end{align} \)

一方変圧器Bの出力\(P_B\)[W]は、

\( P_B = \dot{V}_{vw} \times \dot{I}_{vw}  \)

の式で表すことができます。

一方、変圧器Bの場合には下図の様に考えることができます。

したがって、出力の大きさは

\( \begin{align} P_B &= \dot{V}_{vw} \times \dot{I}_{vw}  \\ &= V_n \times I_n \times \cos \left( \displaystyle \frac{\pi}{6} – \theta \right) \end{align} \)

変圧器A，BをV結線として利用した場合の出力\(P_V\)[W]は

\(\begin{align} P_V &= P_A + P_B　\\ &=  V_n \times I_n \cos \left( \displaystyle \frac{\pi}{6} + \theta \right) + V_n \times I_n \cos \left( \displaystyle \frac{\pi}{6} – \theta \right) \end{align} \)

ここで、三角関数の積和の公式

\( \cos \alpha \cos \beta = \displaystyle \frac{1}{2} \lbrace \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha – \beta) \rbrace \)

を利用して式変形を行うと

\( V_n \times I_n \cos \left( \displaystyle \frac{\pi}{6} + \theta \right) + V_n \times I_n \cos \left( \displaystyle \frac{\pi}{6} – \theta \right) \\ = 2V_n \times I_n \times \cos \displaystyle \frac{\pi}{6} \cos\theta \\ = \sqrt{3}V_n I_n \cos \theta \)

以上のようにしてV結線の変圧器の出力は計算されます。

非常に複雑な計算過程であるので、電験三種を受験する方は公式の暗記で問題ありません。