問題
図のように，真空中で2枚の電極を平行に向かい合せたコンデンサを考える。各電極の面積を\(A\ \rm [m^2]\)，電極の間隔を\(l\) [m]とし，端効果は無視すると，静電容量は \( \fbox { （ア） } \) [F]である。このコンデンサに直流電圧源を接続し，電荷\(Q\) [C]を充電してから電圧源を外した。このとき，電極間の電界\( E \) = \( \fbox { （イ） } \) [V/m]によって静電エネルギー\(W \) = \( \fbox { （ウ） } \) [J]が蓄えられている。この状態で電極間隔を増大させると静電エネルギーも増大することから，二つの電極間には静電力の\( \fbox { （エ） } \)が働くことが分かる。
ただし，真空の誘電率を\(ε_0 \) [F/m]とする。
上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)，(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
$$ \begin{array}{ccccc} \ &（ア）&（イ）&（ウ）&（エ）\\ \hline (1) &ε_0\displaystyle \frac{A}{l} &\displaystyle \frac{Ql}{ε_0 A} &\displaystyle \frac{Q^2 l}{ε_0A} &引力 \\ \hline (2) &ε_0\displaystyle \frac{A}{l} &\displaystyle \frac{Q}{ε_0 A} & \displaystyle \frac{Q^2 l}{2ε_0A} &引力 \\ \hline (3) & \displaystyle \frac{A}{ε_0 l} & \displaystyle \frac{Ql}{ε_0 A} & \displaystyle \frac{Q^2 l}{2ε_0A} & 斥力 \\ \hline (4) &ε_0\displaystyle \frac{A}{l} &\displaystyle \frac{Q}{ε_0 A} &\displaystyle \frac{Q^2 l}{ε_0A} &斥力 \\ \hline (5) &ε_0\displaystyle \frac{A}{l} &\displaystyle \frac{Q}{ε_0 A} & \displaystyle \frac{Q^2 l}{2ε_0A} &斥力 \\ \hline \end{array} $$
解説
答え：(2)
（ア）：平行板コンデンサの静電容量について
各電極の面積を\(A\ \rm [m^2]\)，電極の間隔を\(l\) [m]，真空の誘電率を\(ε_0 \) [F/m]とすると，静電容量\(C\) [F]は以下の式で表すことができます。
\( C = ε_0 \displaystyle \frac{A}{l} \)
（イ）：電荷\(Q\)で充電しているときの電極間の電界\( E \)について
電荷\(Q\) [C]で充電しているとき，極板間の電位差（電圧）\(V\)は，
\( V = \displaystyle \frac{Q}{C} = \displaystyle \frac{Ql}{ε_0 A}\)
と表すことができるので，電極間の電界\( E \) [V/m]の大きさは，
\( \begin{align} E &= \displaystyle \frac{V}{l} \\ \\ &= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{Ql}{ε_0 A}}{l} \\ \\ &= \displaystyle \frac{Q}{ε_0 A} \end{align} \)
となります。
（ウ）：静電エネルギーの大きさについて
静電エネルギーの式は，
\( W = \displaystyle \frac{1}{2} QV\)
で表すことができます。よって、（ウ）は以下の式となります。
\( \begin{align} W &= \displaystyle \frac{1}{2}QV \\ \\ &= \displaystyle \frac{1}{2} \times Q \times \displaystyle \frac{Ql}{ε_0 A} \\ \\ &= \displaystyle \frac{Q^2l}{2ε_0 A} \end{align} \)
（エ）：静電気力の種類
上側の極板はプラスに帯電し，下側の極板はマイナスに帯電しているので，2つの極板の間には引き合う力（引力）が働きます。
物体に加える力\(F\)[N]，物体の移動距離\(l\) [m]とエネルギー\(W\) [J]の間には，
\( W = F \times \delta l \)
の関係式が成り立ちます。力とエネルギーの式より、
「極板間にはたらいている力に逆らって力を加える＝エネルギーを与える」となるため，
問題文中の「極板間距離を広げると，エネルギーは増大した」の記述より，極板間には引力が働いていたと考えられます。
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