問題
図に示すように，電極板面積と電極板間隔がそれぞれ同一の 2 種類の平行平板コンデンサがあり，一方を空気コンデンサ A ，他方を固体誘電体（比誘電率 \(\varepsilon_r = 4\) ）が満たされたコンデンサ B とする。両コンデンサにおいて，それぞれ一方の電極に直流電圧 \(V\) [V] を加え，他方の電極を接地したとき，コンデンサ B の内部電界 [V/m] 及び電極板上に蓄えられた電荷 [C] はコンデンサ A のそれぞれ何倍となるか。その倍率として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか
ただし，空気の比誘電率を \(1\) とし，コンデンサの端効果は無視できるものとする。
$$ \begin{array}{ccccc} \ & 内部電界 & 電荷 \\ \hline (1) &1 &4 \\ \hline (2) &4 &4 \\ \hline (3) &\displaystyle \frac{1}{4} &4 \\ \hline (4) &4 &1 \\ \hline (5) &1 &1 \\ \hline \end{array} $$
解説
答え：(1)
コンデンサA，Bの静電容量を求める
問題文より，「電極板面積と電極板間隔がそれぞれ同一 … 」と記載があるので，
極板間距離 \(d\ \rm [m]\) ，極板の面積 \( S\ \rm [m^2] \) ，空気中の誘電率 \(\varepsilon_0 \ \rm [F/m] \) で表すとした場合，コンデンサA，Bそれぞれの静電容量\( C_A \ \rm [F]\) ， \(C_B \ \rm [F]\) は，
\( C_A = \varepsilon \displaystyle \frac{S}{d} \)
\( C_B = \varepsilon_r \varepsilon_0 \displaystyle \frac{S}{d} = 4 \varepsilon_0 \displaystyle \frac{S}{d} = 4C_A\)
コンデンサA，Bの内部電界を求める
平行平板コンデンサの内部電界 \(E \ \rm [V/m] \)は，コンデンサに印加する電圧の大きさを \(V \ \rm [V] \)，極板間距離を \(d \ \rm [m] \)とすると ，
\( E = \displaystyle \frac{V}{d} \)
で表すことができます。
問題文より電圧は\(V \ \rm [V]\)で同じ大きさとなるので，コンデンサA，Bの内部電界\( E_A\) ，\(E_B\)はそれぞれ，
\( E_A = \displaystyle \frac{V}{d} \)
\( E_B = \displaystyle \frac{V}{d} = E_A \)
となるため，\(E_B\)は，\(E_A\)の1倍となります。
コンデンサA，Bに蓄えられる電荷の量を求める
平行平板コンデンサに蓄えられる電荷量 \(Q \ \rm [C] \) は，コンデンサの両端に印加される電圧を \(V \ \rm [V] \)，静電容量を \( C \ \rm [F] \)とすると，
\( Q = C \times V \)
で表すことができます。したがって，コンデンサA，Bに蓄えられる電荷量 \(Q_A \) ，\(Q_B\)は，
\( Q_A = C_A \times V \)
\( Q_B = C_B \times V = 4C_A \times V \)
となり，\(Q_B\)は，\(Q_A\)の4倍であることが分かります。
よって答えは，(1)となります。
コメント