【過去問解説】H25年理論　問17　静電気の電界に関する計算問題

問題

空気中に半径\(r\) [m] の金属球がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし，\( r = 0.01\) [m] ，真空の誘電率を\(ε_0 = 8.854×10^{−12}\) [F／m] ，空気の比誘電率を\( 1.0\) とする。

(a)　この金属球が電荷\(Q\) [C] を帯びたときの金属球表面における電界の強さ [V／m] を表す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

(1)　\(\displaystyle \frac{Q}{4 \pi ε_0 r^2}\)　　(2)　\(\displaystyle \frac{3Q}{4 \pi ε_0 r^3}\)　　(3)　\(\displaystyle \frac{Q}{4 \pi ε_0 r}\)　　

(4)　\(\displaystyle \frac{Q^2}{8 \pi ε_0 r}\)　 　(5)　\(\displaystyle \frac{Q^2}{2 \pi ε_0 r^2} \)

(b)　この金属球が帯びることのできる電荷\(Q\) [C] の大きさには上限がある。空気の絶縁破壊の強さを\( 3×10^6\) [V／m] として，金属球表面における電界の強さが空気の絶縁破壊の強さと等しくなるような\( Q\) [C] の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\(2.1×10^{−10}\)　　(2)　\(2.7×10^{−9}\)　　(3)　\(3.3×10^{−8}\)

　(4)　\(2.7×10^{−7}\) 　　(5)　\(3.3×10^{−6}\)

解説

答え：(a)-(1)，(b)-(3)

(a)　金属球が電荷\(Q\) [C] を帯びたときの電界の強さ\(E\) [V／m] を求める

導体球が電荷をもつときの，導体表面における電界の強さ\(E\)は，

\( E = \displaystyle \frac{Q}{4 \pi ε_rε_0 r^2} \)

で求めることができます。空気の比誘電率\(ε_r = 1.0 \)であるから，電界の大きさは，

\( E = \displaystyle \frac{Q}{4 \pi ε_0 r^2} \)

となります。

(b)　絶縁破壊が生じる時の電荷\(Q\) [C]の大きさを求める

空気の絶縁破壊の強さを\( 3×10^6\) [V／m] を(a)で求めた電界の式に代入し，問題で与えられた条件で計算すると，導体に蓄えることができる電荷\(Q\) [C]の大きさは，

\( \begin{align} E &= \displaystyle \frac{Q}{4 \pi ε_0 r^2} \\ \\ 3 \times 10^6 &= \displaystyle \frac{Q}{4 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times \left(0.01 \right)^2} \\ \\ Q &= 3 \times 10^6 \times 4 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times \left(0.01 \right)^2 &= 3.33 \times10^{-8} \end{align} \)

と求めることができます。