問題
図のように，真空中において二つの小さな物体A，Bが距離\(r\) [m]を隔てて鉛直線上に置かれている。Aは固定されており，Aの真下にBがある。物体A，Bはそれぞれ，質量\(m_A\) [kg]，\(m_B\) [kg]をもち，電荷\(+q_A\) [C]，\(−q_B\) [C]を帯びている。\(q_A＞0，q_B＞0\)とし，真空の誘電率を\(ε_0\) [F/m]とする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし，小問(a)においては重力加速度g [m/s2]の重力を，小問(b)においては無重力を，それぞれ仮定する。物体A，Bの間の万有引力は無視する。
(a) 重力加速度\(g \ \rm [m/s^2]\)の重力のもとでBを初速度零で放ったとき，BはAに近づくように上昇を始めた。このときの条件を表す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \(\displaystyle \frac{q_A q_B}{4πε_0 r^2} ＞ m_Bg \) (2) \(\displaystyle \frac{q_A q_B}{4πε_0 r}＞m_Bg\) (3) \(\displaystyle \frac{q_A q_B}{4πr}＞m_Bg\)
(4) \(\displaystyle \frac{q_A q_B}{2πε_0 r^2}＞m_Bg\) (5) \(\displaystyle \frac{q_A q_B}{2πε_0r}＞m_B g\)
(b) 無重力のもとでBを下向きの初速度\(v_B\) [m/s]で放ったとき，Bは下降を始めたが，途中で速度の向きが変わり上昇に転じた。このときの条件を示す式として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \(\displaystyle \frac{1}{2}m_B v^2_B＜\displaystyle \frac{q_A q_B}{4πε_0r^2}\) (2) \(\displaystyle \frac{1}{2}m_B v^2_B ＜ \displaystyle \frac{q_A q_B}{4πε_0 r}\) (3) \(m_B v_B < \displaystyle \frac{q_A q_B}{4πε_0r^2}\)
(4) \(m_B v_B < \displaystyle \frac{q_A q_B}{4πε_0 r}\) (5) \(\displaystyle \frac{1}{2}m_B v_B＜\displaystyle \frac{q_A q_B}{4πε_0r^2}\)
解説
答え：(a)-(1)，(b)-(2)
(a) 物体Bが物体Aに近づく動きをする条件を求める
物体Bにはたらく力を求める
物体Bにはたらく静電気力の大きさは，クーロンの法則を用いて以下のように表すことができます。
\( F_e = \displaystyle \frac{q_A q_B}{4πε_0 r^2} \) [N]
一方，物体Bにはたらく重力は，質量\(m_B\) [kg]と重力加速度\(g\) [\( \rm m/s^2\)]を用いて，
\( F_g = m_B g \) [N]
となります。物体Bにはたらく2つの力を問題の図に書き加えると下図2のように表されます。
問題の条件から2力の大小を決める
問題文には，「…Bを初速度零で放ったとき，BはAに近づくように上昇を始めた。」と記載があるので，物体Aの方向に向かい力の方が大きいことが読み取れます。
図2より，物体Aに近づく方向の力は静電気力であることから，(a)の答えは，
\( \displaystyle \frac{1}{2}m_B v^2_B＜\displaystyle \frac{q_A q_B}{4πε_0r^2}\)
となります。
(b) 運動している物体Bが物体Aに近づく動きをする条件を求める
物体Bの運動エネルギーを求める
問題文には，「無重力のもとBを下向きの初速度\(v_B\) [m/s]で放った」と記載がるので，物体Bの持つ運動エネルギーの大きさは，
\( \displaystyle \frac{1}{2} m_B v_B^2 \)
と表すことができます。
物体Bが初めの状態で持っている電気的なエネルギーを求める
電荷を帯びた物体が持つ電気的なエネルギー\(W\) [J]の大きさは，電位\(V\)[V]と電荷\(Q\) [C]を用いて，
\( W = V \times Q\)
と表すことができます。
物体Bが置かれている地点は，物体Aが持つ電荷による電位\(V_A\)の位置となるので，
\( V = V_A = \displaystyle \frac{q_A}{4πε_0 r}\) [V]
となります。物体Bは電荷\(q_B\) [C]を持っているので，電気的なエネルギー\(W\)の大きさは，
\(\begin{align} W &= V_A \times q_B \\ \\ &= \displaystyle \frac{q_A}{4πε_0 r} \times q_B \\ \\ &= \displaystyle \frac{q_A q_B}{4πε_0 r} \end{align} \)
問題の条件から2力の大小を決める
問題文には，「…Bは下降を始めたが，途中で速度の向きが変わり上昇に転じた。」と記載があるので，運動エネルギーよりも電気的なエネルギーの方が大きいと読み取れます。
したがって，問題文の動きと合致する条件は，
\(\displaystyle \frac{1}{2}m_B v^2_B ＜ \displaystyle \frac{q_A q_B}{4πε_0 r}\)
となります。
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