【過去問解説】H27年理論　問16　コンデンサに関する計算問題

問題

図1の端子a−d間の合成静電容量について，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　端子b−c−d間は図2のようにΔ結線で接続されている。これを図3のようにY結線に変換したとき，電気的に等価となるコンデンサ\(C\)の値[μF]として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\(1.0\)　　(2)　\(2.0\)　　(3)　\(4.5\)　　(4)　\(6.0\)　　(5)　\(9.0\)

(b)　図3を用いて，図1の端子b−c−d間をY結線回路に変換したとき，図1の端子a−d間の合成静電容量\(C_0\)の値[μF]として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\(3.0\)　　(2)　\(4.5\)　　(3)　\(4.8\)　　(4)　\(6.0\)　　(5)　\(9.0\)

解説

答え：(a)-(5)，(b)-(3)

(a) \(\Delta\)-Y変換したときの静電容量\(C\)を求める

容量リアクタンス\(X_C\) [\(\Omega\)]の形で表す

静電容量[F]の形のままでは，\(\Delta\)-Y変換の式が適用しにくいため，まず静電容量[F]から容量リアクタンス\(X_C\) [\(\Omega\)]に変換します。

角周波数を\(\omega\)とすると，\(\Delta\)結線時の容量リアクタンス\(X_Cd\)とY結線時容量リアクタンス\(X_Cy\)はそれぞれ以下のように表すことができます。

\( X_{Cd} = \displaystyle \frac{1}{3\omega} \) [\(\Omega\)]

\( X_{Cy} = \displaystyle \frac{1}{\omega C} \) [\(\Omega\)]

\(\Delta\)-Y変換により静電容量を求める

3つの抵抗値[Ω]の値が等しい場合，\(\Delta\)-Y変換による抵抗値[Ω]の大きさは，以下の図のようになります。

したがって，容量リアクタンス\( X_{Cd}\)と\( X_{Cy}\)は以下のような関係にあります。

\(\begin{align} X_{Cy} &= \displaystyle \frac{1}{3} \times X_{Cd} \\ \\ \displaystyle \frac{1}{\omega C} &= \displaystyle \frac{1}{3} \times \displaystyle \frac{1}{3\omega} \\ \\ \displaystyle \frac{1}{\omega C} &= \displaystyle \frac{1}{9\omega} \end{align}\)

分母を比べると

\( C = 9\)

であることが分かります。よって，答えは(5)となります。

(b) 図1の端子a−d間の合成静電容量\(C_0\)の値を求める

(a)で求めたY変換時の回路を図1に当てはめると，以下の図4のように回路を書き表す頃ができます。

並列接続部分の静電容量を求める

図4より並列回路部分の合成容量\(C’\)は、

\( \begin{align} C’ &= \displaystyle \frac{1}{\left( \displaystyle \frac{1}{9} + \displaystyle \frac{1}{9} \right)} + \displaystyle \frac{1}{\left(\displaystyle \frac{1}{18}+\displaystyle \frac{1}{9}\right)} \\ \\ \\ &= \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2}{9}} + \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{3}{18}} \\ \\ &= \displaystyle \frac{9}{2} + \displaystyle \frac{18}{3} \\ \\ &=4.5 +6 =10.5 \end{align} \)

回路全体の静電容量を求める

回路全体の静電容量\(C_0\) [μF]は、

\(\begin{align} \displaystyle \frac{1}{C_0} &= \displaystyle \frac{1}{10.5} + \displaystyle \frac{1}{9} \\ \\ \displaystyle \frac{1}{C_0} &= \displaystyle \frac{9+10.5}{10.5 \times 9} \\ \\ C_0 &= \displaystyle \frac{10.5 \times 9}{9+10.5} \approx 4.83 \end{align} \)

よって、(b)の答えは、(3)となります。