【過去問解説】R4下期理論 問7 抵抗値の温度変化による補正の計算問題

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問題

 \(20\) ℃ における抵抗値が \(R_1\ [\Omega]\) ,抵抗温度係数が \(\alpha_1\ \rm[℃^{−1}]\) の抵抗器 \(\rm A\) と \(20\) ℃ における抵抗値が \(R_2\ [\Omega]\) ,抵抗温度係数が \(\alpha_2 = 0\ \rm ℃^{−1} \) の抵抗器 \(B\) が並列に接続されている。その \(20\) ℃ と \(21\) ℃ における並列抵抗値をそれぞれ \(r_{20} \ [\Omega]\) , \(r_{21}\ [\Omega]\) とし,\( \displaystyle \frac{r_{21}−r_{20}}{r_{20}} \) を変化率とする。この変化率として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

\( \begin{align} &(1) \displaystyle \frac{\alpha_1 R_1 R_2}{R_1 + R_2 +\alpha_1 ^2 R_1}   &(2) \displaystyle \frac{\alpha_1 R_2}{R_1 + R_2 \alpha_1 R_1} \\ \\ &(3) \displaystyle \frac{\alpha_1 R_1}{R_1 + R_2 \alpha_1 R_1}   &(4) \displaystyle \frac{\alpha_1 R_2}{R_1 + R_2 \alpha_1 R_2} \\ \\ &(5) \displaystyle \frac{\alpha_1 R_1}{R_1 + R_2 \alpha_1 R_2} \end{align} \)

解説

答え:(2)

抵抗A,Bの値を求める式

温度変化を \(\Delta t \) ℃ で表すとすると,ある温度における抵抗A,Bの抵抗値 \(R_A \ \Omega \) ,\(R_B \ \Omega\) は以下の式で表すことができます。

\( R_A = R_1 \times \left( 1 + \alpha_1 \Delta t \right) \)

\( R_B = R_2 \times \left( 1 + \alpha_2 \Delta t \right) = R_2 \times \left( 1 + 0 \times \Delta t \right) = R_2 \)

20℃に時の合成抵抗の値

温度20℃の時に抵抗A,Bの大きさはそれぞれ,

\(R_A = R_1 \ \Omega\)

\( R_B = R_2 \ \Omega\)

となります。この2つの抵抗をを並列接続したときの合成抵抗 \(r_{20} \) の大きさは,

\(\begin{align} \displaystyle \frac{1}{r_{20}} &= \displaystyle \frac{1}{R_A} + \displaystyle \frac{1}{R_B} \\ \\ &= \displaystyle \frac{1}{R_1} + \displaystyle \frac{1}{R_2} \\ \\ &= \displaystyle \frac{R_2 + R_1}{R_1 \times R_2} \\ \\ r_{20} &= \displaystyle \frac{R_1 R_2}{R_1 +R_2} \end{align} \)

と計算できます。

21℃に時の合成抵抗の値

温度20℃の時に抵抗A,Bの大きさはそれぞれ,

\(\begin{align}R’_A &= R_1 \times \left( 1 + \alpha_1 \Delta t \right) \\ &=R_1 \times \left( 1 + \alpha_1 \times 1 \right) \\ &= R_1 \left( 1 + \alpha_1 \right) \ \Omega \end{align}\)

\( R’_B = R_2 \ \Omega\)

となります。この2つの抵抗をを並列接続したときの合成抵抗 \(r_{21} \) の大きさは,

\( \begin{align} \displaystyle \frac{1}{r_{21}} &= \displaystyle \frac{1}{R’_A} + \displaystyle \frac{1}{R’_B} \\ \\ &= \displaystyle \frac{1}{R_1 \times \left( 1 + \alpha_1 \times 1 \right) } + \displaystyle \frac{1}{R_2} \\ \\ &= \displaystyle \frac{R_2 + R_1 \times \left( 1 + \alpha_1 \times 1 \right)}{R_1 \times \left( 1 + \alpha_1 \times 1 \right) \times R_2} \\ \\ r_{21} &= \displaystyle \frac{R_1 \times \left( 1 + \alpha_1 \times 1 \right) \times R_2}{R_1 \times \left( 1 + \alpha_1 \times 1 \right) + R_2 } \end{align} \)

となります。

\( \displaystyle \frac{r_{21} – r_{20} }{r_{20}}\) の値を求める

\( \begin{align} \displaystyle \frac{ r_{21} – r_{20} }{ r_{20} } &= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{R_1 \times \left( 1 + \alpha_1 \times 1 \right) \times R_2}{R_1 \times \left( 1 + \alpha_1 \times 1 \right) + R_2 } – \displaystyle \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}}{\displaystyle \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}} \\ \\ &= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{R_1 \times \left( 1 + \alpha_1 \times 1 \right) \times R_2}{R_1 \times \left( 1 + \alpha_1 \times 1 \right) + R_2 } \color{red}{\times \displaystyle \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}} – \displaystyle \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \color{red}{\times \displaystyle \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}}}{\displaystyle \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \color{red}{ \times \displaystyle \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}}} \\ \\ &= \displaystyle \frac{\left(1 + \alpha_1 \right)\left(R_1+R_2 \right)}{\left(1 + \alpha_1 \right)R_1 + R_2} – 1 \\ \\ &= \displaystyle \frac{\left(1 + \alpha_1 \right)\left(R_1+R_2 \right) – \left(1 + \alpha_1 \right)R_1 + R_2}{\left(1 + \alpha_1 \right)R_1 + R_2} \\ \\ &= \displaystyle \frac{}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1} \end{align} \)

以上のように計算できるので,答えは(2)となります。

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この記事を書いた人

中学校教師から電気エンジに転職し現在は66kV/155MWの工場で電気主任技術者として活動中です。
電験3種、電験2種を独学で合格した経験から、初心者がつまづきやすいポイントをどこよりもわかりやすく解説する電験ブログを目指して活動しています。
2023年より、電験三種のオンライン家庭教師も始めました!
目標は、電気監理技術者と独立し、年収1000万以上を達成することです。

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